已知z=f(2xy,x^2+y^2,x^3)，且z对x,y的所有二阶偏导数

发布时间：2024-12-12 04:50

主要内容：

本文通过全微分、链式求导法等方法，介绍计算抽象函数z= f(2xy,x^2+y^2,x^3)的所有二阶偏导数的具体步骤。

一阶偏导数计算：

z=f(2xy,x^2+y^2,x^3)，用全微分求导法，则有：
dz=2f1'(ydx+xdy)+f2'(2xdx+2ydy)+3x^2f3'dx，即：
dz=2yf1'dx+2xf1'dy+2xf2'dx+2yf2'dy+3x^2f3'dx，
dz=(2yf1'+2xf2'+3x^2f3')dx+(2xf1'+2yf2')dy。
则z对x的一阶偏导数为：
∂z∂x =2yf1'+2xf2'+3x^2f3';
同理，z对y的一阶偏导数为：
∂z∂y =2xf1'+2yf2'。

二阶偏导数求解：

因为∂z∂x =2yf1'+2xf2'+3x^2f3'，再次对x求导，
所以∂^2z∂x^2
=2y(f11''*2y+f12''*2x+3x^2f13'')+2f2'+2x(f21''2y+f22''*2x+3x^2f23'')+6xf3'+3x^2(f31''2y+f32''*2x+3x^2f33''),
=4y^2f11''+8xyf12''+6yx^2f13''+2f2'+4x^2f22''+6x^3f23''+6xf3'+6yx^2f31''+6x^3f32''+9x^4f33'',
=4y^2f11''+8xyf12''+6yx^2f13''+2f2'+4x^2f22''+12x^3f23''+6xf3'+9x^4f33''
因为∂z∂y =2xf1'+2yf2'，再次对y求导，
所以∂^2z∂y^2
=2x(f11''*2x+f12''*2y+f13''*0)+2f2'+2y(f21''*2x+f22''*2y+f23''*0)
=4x^2f11''+4xyf12''+2f2'+4xyf12''+4y^2f22'',
=4x^2f11''+8xyf12''+2f2'+4y^2f22''.
因为∂z∂y =2xf1'+2yf2'，再次对x求导，
所以∂^2z∂y∂x
=2f1'+2x(f11''*2y+f12''*2x+3x^2f13'')+2y(f21''*2y+f22''*2x+3x^2f23'')
=2f1'+4xyf11''+4x^2f12''+6x^3f13''+4y^2f12''+4xyf22''+6yx^2f23'',
=2f1'+4xyf11''+4(x^2+y^2)f12''+6x^3f13''+4xyf22''+6yx^2f23''。

特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。

Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.

“立即逮捕”决议案通过，尹锡悦被彻底抛弃