求解函数y=√2

几种方法求解y=√2-x^2在[0,√2]上的最值

主要内容：分别介绍用复合函数单调性、三角换元法、导数法和数形结合法求函数y=√2-x^2在[0,√2]上的最值。

方法1：复合函数单调性质求解

∵y=√2-x^2函数由幂函数y=√u，u=2-x^2复合而成，

且在x≥0时，y=√u为增函数，u=-x^2+2为减函数。

∴函数y=√2-x^2在区间[0,√2]上为减函数。

所以：

ymax=f(0)=√(2-0)=√2，

ymin=f(√2)=0.

方法2.三角换元法

设x=√2*sint，t∈[0,π/2]，则：

y=√2-x^2

=√[2-(√2*sint)^2]

=√2*√(1-sin^2t)

=√2*cost.

根据cost在[0,π/2]上的取值，可知：

ymax=f(0)=√2*cos0=√2,

ymin=f(π/2)=√2*cosπ/2=0。

方法3.数形结合法

∵y=√2-x^2≥0

∴y^2=√2-x^2

即：y^2+x^2=2.

又因为y^2的系数=1，x^2的系数=1，则可以把上述方程看成圆在x轴上方的部分。

此时ymin=0,y的最大值为曲线在y轴上的截距。

即：ymax=f(x=0)=√2。

方法4.导数法

∵y=√2-x^2

∴y＇=-x/√2-x^2。

又因为x∈[0,√2]，即x≥0.

所以-x≤0，则y＇≤0.

故函数y在定义域上为减函数。

ymax=f(0)=√(2-0)=√2，

ymin=f(√2)=0。

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