已知2/x+1/y=1,求x+y的最大值的四种方法

主要内容：

通过替换、柯西不等式、二次方程判别式及多元函数最值法等，介绍x+y在条件2/x+1/y=1下最大值的计算步骤。

主要公式：

1.均值不等式：正实数a,b满足a+b≥2√ab。

2.柯西不等式：对于四个正实数x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(√xb+√yc)^2，等号条件为：cx=by。

方法一：“1”的代换

x+y

=(x+y)(2/x+1/y)

=(2+1+x/y+2y/x)

利用均值不等式，则有：

x+y≥(2+1+2√2)。

所以：x+y的最大值=3+2√2。

方法二：柯西不等式法

∵(2/x+1/y)(x+y)≥(√2+√1)^2

∴(x+y)≥(√2+√1)^2

即：

x+y≥(√2+1)^2。

所以：

x+y的最大值=3+2√2。

方法三：二次方程判别式法

设x+y=t,则y=t-x,代入已知条件得：

2/x+1/(t-x)=1,

2(t-x)+x=x(t-x)

x^2+(1-t-2)x+2t=0,

方程有解，则判别式为非负数，即：

△=(-1-t)^2-4*2t≥0，

化简得：

(t-3)^2≥4*2。

要求t的最大值，则对不等式两边开方有：

t-3≥2√2,

t≥3+2√2，

即tmax=3+2√2。

方法四：多元函数极值法

设F(x,y)=x+y+λ(2/x+1/y-1),

分别对参数求偏导数得：

Fx=1-2λ/x^2,Fy=1-λ/y^2,

Fλ=2/x+1/y-1。

令Fx=Fy=Fλ=0,则：

x^2=2λ, y^2=1λ,

x=√2λ,y=√λ。

代入得方程：

特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。

Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.

很突然！凌晨群发消息：即日停业！家长懵了

鲁中晨报

2024-12-11 07:13:11

有“性瘾”的女人一般有什么表现？

番茄健康

2024-11-14 18:28:06

网址：已知2/x+1/y=1,求x+y的最大值的四种方法 https://mxgxt.com/news/view/164971

相关内容

y=x^3导数y'=3x^2这个求解过程是？ 爱问知识人
下列函数关系y中.变量y与x成正比例函数关系的是( ) A.y=x2 B.y= C.y=x
已知关于x的方程3a
数学初一上册1、观察下列等式：7的1次方=7，7的2次方=49， 爱问知识人
为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
机器学习之分类效果评估
X
r=a(1
求推荐好看的一些小说，不要穿越的···=
关于明星投票系统的作业分享

随便看看