函数y=1/(x+2)的主要性质与图像

函数y=1/(x+2)的主要性质与图像

主要内容：

本题主要介绍函数y=1/(x+2)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间。

函数的定义域：

该函数y=1/(x+2)为分式函数，要求分母不为0，

因为x+2≠0，则x≠-2,故函数的定义域为：

(-∞,-2)，(-2,+∞)。

函数的单调性：

因为函数为分式函数，分子为常数，所以函数的单调性与分母函数的单调性相反。

对于分母函数g(x)=x+2，为一次函数，且为增函数。

所以函数y=1/(x+2)为减函数。

导数单调性：

因为y=1/(x+2)，对x求导，所以有：

dy/dx=-1/(x+2)^2，可知dy/dx<0，

即函数y为单调减函数。

从复合函数性质来看，y=1/(x+2)为复合反比例函数，由反比例函数y=1/x平移变形得到。

函数的凸凹性：

由dy/dx=-1/(x+2)^2得：

dy/dx=-(x+2)^(-2)，再次对x求导，有：

d^2y/dx^2=-(-2)(x+2)^(-3)=(x+2)^(-3),

则d^2y/dx^2=1/(x+2)^3，

该二次导数的间断点为x=-2，即：

(1)当x∈(-∞，-2)时，d^2y/dx^2<0,则函数y为凸函数。

(2当x∈(-2,+∞)时，d^2y/dx^2>0则函数y为凹函数。

函数的极限：

lim(x→-∞) 1/(x+2)=0；

lim(x+→-2/1) 1/(x+2)=+∞；

lim(x-→-2/1) 1/(x+2)=-∞；

lim(x→+∞) 1/(x+2)=0。

函数的五点示意图如下：

综合以上函数的性质，该函数的示意图大致如下所示。

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网址：函数y=1/(x+2)的主要性质与图像 https://mxgxt.com/news/view/1058620

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