互补角的正弦、余弦关系及公式（含详细推导过程）

发布时间：2025-04-26 21:04

互补的两个角的正弦余弦关系是：互补的两个角的正弦值相等，而余弦值互为相反数。

一、互补、互为补角的定义

在同一平面内，如果两个角的度数之和等于180度（即π弧度），那么我们称这两个角互补（或互为补角）。

二、三角函数定义和互补角的正弦、余弦公式

1、用三角函数定义求角α的三角函数值

若角α的起始边和平面直角坐标系中x轴的非负半轴重合，并且角α的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为(x,y)，则有sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。①

三角函数定义及互补角间的正余弦公式

2、根据角α的三角函数值求角α的补角的三角函数值

角α的补角可表示为π-α（即180°-α）。

因为角α与角π-α的终边关于y轴对称，所以，若α的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为(x,y)，则其补角π-α终边与单位圆交点坐标为(-x,y)。

根据三角函数定义，有sin(π-α)=y，cos(π-α)=-x，tan(π-α)=-y/x。②

3、互补角的正弦、余弦关系式推导

比较上面的①、②中的两组三角函数值：

由“sinα=y”和“sin(π-α)=y”可得sin(π-α)=sinα。由“cosα=x”和“cos(π-α)=-x”可得cos(π-α)=-cosα。

综上，得sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα。即“互补的两个角的正弦值相等，而余弦值互为相反数”。

4、互补角的正弦、余弦公式

（1）弧度制下互补角的正弦、余弦公式：

sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα。

【注】其中α为弧度制下的角。

（2）角度制下互补角的正弦、余弦公式：

sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα。

【注】其中α为角度制下的角。

三、互补角的正弦、余弦公式应用示范

【例题1】已知角α和角β互补，且sinα=1/2，求sinβ。

解：由“角α和角β互补”得sinβ=sinα，

又sinα=1/2，所以，sinβ=1/2。

【例题2】已知角α和角β互补，且cosα=1/2，求cosβ。

解：由“角α和角β互补”得cosβ=-cosα，

又cosα=1/2，所以，cosβ=-1/2。

以上内容就是关于“互补角的正弦、余弦关系及公式”的详细介绍。今天的知识分享就到这里，有不明白的地方请点击“问一问提问卡”在线交流。欢迎大家点赞和收藏！