z = z² + c

发布时间：2024-12-16 23:46

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：Takeko，视觉互动：雯雯子，题图来自：《奇异博士》

毕达哥拉斯定理、计算几何图形的表面积和体积的公式、π……这些都是学校里教的经典几何的概念。或许可以这么说，经典几何与解析几何一道，精准地反映了我们人类所创造的世界。

然而，如果在自然的行为模式背后还有一种“更原始”的几何学呢？这种几何学更能反映出远早于人类存在的自然世界，甚至连我们的身体功能也离不开它。

上个世纪后半叶，人们开始用一种新的视角来解读发生在我们身边的自然过程，分形几何应运而生。

分形的关键特征是自复制。形状、节奏、声音或轨迹，所有这些现象都可以分解成自复制的结构。根据自相似的数学原理，相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推。对于真实世界的物体而言，当尺寸足够小时，这种自相似性就会停止，但对理想化的数学模型而言，这种自相似可以一直持续下去。

是什么逻辑塑造了树枝的生长或者山峰的形状？风暴中闪电的路径、微生物的生长周期、星系中恒星的形成等等这些过程的背后，又藏着怎样的数学原理？分形几何让我们能够利用数学探索自然界中各种形式的“异常”，它似乎可以破解所有这些自然现象。

宝塔花菜是分形自相似的体现。| 图片来源：Unsplash

“云不是球体，山不是圆锥体，海岸线不是圆形，树皮不是光滑的，闪电也不是沿直线传播的。”这是创造了“fractal”（分形）一词的数学家伯努瓦·芒德布罗（Benoît Mandelbrot）所说的话。

20世纪70年代，在美国的几所大学任教后，芒德布罗转去了IBM的实验室工作。他的工作需要找出远程通讯系统中存在白噪声干扰的根源。芒德布罗拥有非凡的视觉思维，他凭借敏锐的直觉发现了分形的数学基础。他分析了代表白噪声湍流的图表，并注意到无论图表涵盖的数据量是大是小，一天、一小时或一秒的数据总是拥有相同的模式。

芒德布罗借助了数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou）和加斯顿·朱利亚（Gaston Julia）的工作。法图和朱利亚研究了函数的迭代，它是数学中自相似原理的基础。

利用功能强大的计算机，芒德布罗通过对一个看似简单的方程z = z² + c的迭代，获得了最具代表性的科学图像之一——芒德布罗集（Mandelbrot set）。这种奇怪的不规则形状遵循着分形自相似的数学原理，并且是无限扩展的。如果仔细观察，边缘的图案在不断重复。

芒德布罗集的可视化。| 图片来源：Lars H. Rohwedder/Wikimedia Commons

几年后，芒德布罗出版《自然的分形几何》（Fractal Geometry of Nature），这部作品引起了人们的广泛关注，他随之被认为是一个新的知识领域的创造者。虽然在分形几何的诞生过程中，芒德布罗并不是唯一的科学家，但他利用计算机的力量重塑了以前的知识。

作为一位“非正统”数学家，芒德布罗不仅发现了一个拥有美丽形状的新的几何维度，或是一种描述复杂的自然过程的方法，他还敏锐地意识到分形在许多科学领域都有巨大的用处。

如果确定了自然中的一种基本结构，并用分形几何的原理对其进行分解，就可以对这种结构未来的行为作出预测。如果原子间的相互作用是按照分形几何的自相似原理发生的，那么这一数学基础或许可以用来解释许多复杂的自然现象。从数学上来说，分形无法准确预测混沌系统中的重大事件将如何发生，但它们可以告诉我们，这些事件即将发生。