卡姆定理

卡姆定理

人们对力学系统所关心的问题之一，是运动过程的长期行为和它最终会达到的状态。动力系统的长时间行为可能有多种形式：平衡或不动点、周期振动、准周期运动、混沌，它们都是定常态。牛顿力学的确定论观点曾因解决太阳系行星运行问题的成功而在很长时期占统治地位。P.拉普拉斯曾宣称，只要给定初始条件就可以预言太阳系的整个未来。但是，力学中的三体问题和重刚体绕固定点的运动问题成为困扰人们近一个世纪的难题。数学家于19世纪认识到n体问题属于不可积分的难题，只能寻求级数解。换言之，这类系统无法根据初始条件求出描述系统未来确定性行为的精确解。随之，H.庞加莱也清楚地认识到力学系统一般说来不可积分，可积分系统只是极少的特例，并指出共振项可能影响级数的收敛性。对于不可积系统的运动图像，卡姆定理回答了“弱”不可积系统的问题。假定这种系统的哈密顿量可以分为两部分。其中H0是可积的，因而只依赖于作用量J；V是使H变得不可积的扰动，自然含有角度变量θ。只要参数ε很小，导致不可积的附加项就很小。卡姆定理指出：在扰动（或者说非线性）较小、V足够光滑、离开共振条件一定距离等三个条件下，对于绝大多数初始条件，弱不可积系统的运动图像与可积系统基本相同。由正则方程描述的n个自由度哈密顿系统，如果能找到n个彼此独立的运动积分，则成为可积系统，并可通过正则变换用作用–角变量(I,θ)描述，且哈密顿函数只与作用变量有关，H0=H0(I)，可积系统的解在2n维相空间中分布在一个n维环面上。如果系统受到微小摄动，H(I,θ)=H0(I)+εH1(I,θ)，则称为近可积系统，其中ε是一小参数。KAM定理的数学表述比较复杂，大意是：在满足一定条件下（如摄动微小、可积系统的H0远离共振、H1光滑等）近可积系统绝大多数解是规则的，其相轨迹被限制在一个由n个运动不变量决定的n维环面上，该环面与可积系统的环面相比有微小的变形，但拓扑结构不变，称为不变环面或KAM环面；确切些说，相空间分成大小两组体积非零的区域。在大区域中仍然保持着与可积系统类似的环面结构；也有一些“随机”解（随机二字打上引号表示并非真正的随机，而是因为系统的性态随初值的敏感而呈现混乱，这仍然是混沌现象的决定性的表现），但被限制在KAM环面之间，成为“随机”层。因此，近可积系统与可积系统的解相差不多，这时确定性与“随机性”共存。随着摄动的加大，上述条件受到破坏，KAM定理不再适用。分隔相邻“随机”层的KAM环面将逐个破裂，“随机”层也相应变大，这时系统的所有可能解中大部分都是混沌解 [1]。初始条件如果落入小区域中，运动轨道就会相当不规则地迷走，运动轨道呈现不稳定性。这些小的不稳定区的体积随着ε 趋于零而消失，但只要ε不为零，它们的体积就是有限的。这说明只有低阶（小于4阶）共振才有危险性，高阶共振不影响微扰级数的收敛性。低阶共振的区域在相空间中是彼此隔开的，只有参数 ε足够大时，它们才会互相重叠，导致混沌运动。进一步的研究发现无论破坏任何一个卡姆条件，运动图像都会变得更为混沌。轨道的不稳定性是力学系统运动中出现随机性、不可预言性和混沌的原因。

卡姆定理通过对弱不可积系统运动稳定性条件的证明，说明了三维以上非线性系统的运动轨道出现混沌现象具有普遍性。以卡姆定理为代表的浑沌理论揭示了决定论和随机论之间、牛顿力学和统计力学之间没有不可逾越的界线，对于突破牛顿力学决定论的思想框架具有重要意义，也丰富了系统学的内容。

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