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数列与数的关系

数列与级数的关系 数列（上册p.9）与级数（下册p.1）是决然不同的概念，但它们有着紧密的联系。 首先，任何一个数列 均可构造一个与其敛散性完全一样的级数 ，这是因为：此级数的前 项和 ；其次，任何一个级数 也可用其前 项和 构造一个与其敛散性完全一样的数列 ，因为级数 的收敛就是用其前 项和 有极限 来定义的（下册p.2）。 由此可见，我们可以视具体情况选用数列工具或级数工具研究数列或级数。 例．证明：若 ， ， ，则数列 收敛，并求其极限。（上册p.77：第14题） 解法1：先用数学归纳法证明：，。 当 时，。假设：当 时有 ；当 时： 。 因此，， ，即：数列 有上界。 ，由此得出：数列 严格单增。 这样，数列 有极限 。 递推式 两端取极限 ，即得等式 ，解这个关于 的方程，得到解 （另一解 不合题意，舍去）。故 。 解法2：先用数学归纳法证明：，。 当 时， ，显然有 。假设：当 时有 ；当 时： ， 。 （ ）因此，， 。 由此即得： ，数列 严格单增。 考察正项级数 ： ， 由 有 。 由达朗贝尔判别法（下册p.20）得出：级数 收敛，故：极限 存在。（求 的方法同解法1） 2

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