数学分析第一章《实数集与函数》备考指南

发布时间：2024-12-16 05:03

千里之行，始于足下，你可能看了很多《数学分析》的复习计划，别人成功的经验，也有自己的打算，那么到底如何复习？你行动了吗？打开书（假设你用的是华东师大第四版），第一章，可能你就有点不知所措！

很多分析的教材，第一章都是《实数集与函数》，从教材本身的编排，它属于过渡性的章节，编者从实际出发，考虑到大一的小朋友经过了漫长的高考假期，并且还有入学军训，必然导致间歇性的知识遗忘，所以安排了同学们都比较熟悉的实数和函数。

第一章只有一个知识点，是同学们中学没有接触过的，那就是确界的定义！这个定义涉及到了实数的本质（实数的完备性），所以它是整个第一章最重要的知识点，没有之一！然而这个知识点并不是很好掌握，

用两句抽象的话给出了定义，不管是记忆，还是应用都比较麻烦。大表哥在视频中会详细讲解，给出一个等价定义，用公式的形式，比教材上原始的定义好记好用很多。

作为研er，你必须记住刻画实数完备性的第一个原理——确界原理！

一言蔽之，有界必有确界！这个定理，只用不证！大表哥再强调一遍，这个定理本身的内容极其重要，但是定理本身的证明请忽略它！而且这个证明本身，并没有涉及到分析的本质，用了很蹩脚的“不足近似”，“过剩近似”（这两个定义也请同学们忽略，不重要！）

剩下的内容，大表哥称为“common sense (常识性的结论)”，同学们尤其要会证明函数的有界性，无界性（即有界的否定形式），还有记住数学分析中的两个明星函数——黎曼函数和狄利克雷函数，毕竟分析所探讨的积分就是在大神黎曼的意义下，而狄利克雷会贯穿整个分析，无论是反常积分，无穷级数，还是含参量积分，都有他的影子！

PS:同学们在看书时，可能还会遇到一个难点