4y^(4)+8y^(3)+7y''+8y'+3y=3sin2x的通解

div.post_main > h1" tabindex="0" aria-label="正文区,主要内容：" aria-autolabel="true"> 主要内容：

根据其齐次微分方程的特征方程，介绍计算微分方程4y^(4)+8y^(3)+7y''+8y'+3y=3sin2x的通解的主要步骤。

主要步骤：

解：先解特征方程，过程如下：

方程4y^(4)+8y^(3)+7y''+8y'+3y=3sin2x的特征方程为：

4r^4+8r^3+7r^2+8r+3=0,

4r^2(r^2+1)+8r(r^2+1)+3(r^2+1)=0,

(r^2+1)(4r^2+8r+3)=0,

(2r+1)(2r+3)(r^2+1)=0,则有：

r1=-1/2，r2=-3/2,

r3=i，r4=-i。

此时特征方程通解为：

y0=c1e^r1x+c2e^r2x+c3sinx+c4cosx.

以下步骤为求特解，设特解y1=msin2x+ncos2x,则：

y1'=2mcos2x-2nsin2x,

yy''=-4msin2x-4ncos2x,

y^(3)=-8mcos2x+8nsin2x,

y^(4)=16msin2x+16ncos2x.

代入方程得：

(39m+48n)sin2x+(-48m+39n)cos2x=3sin2x,

则由对应项系数相等得：

39m+48n=3，

-48m+39n=0,

求出：m=13/2,n=16/425,

即特解y1=(13/2)sin2x+(16/425)cos2x.

综合得函数的通解为：

y=y0+y1

=c1e^(-x/2)+c2e^(-3x/2)+c3sinx+c4cosx

+(13/2)sin2x+(16/425)cos2x.

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网址：4y^(4)+8y^(3)+7y''+8y'+3y=3sin2x的通解 http://mxgxt.com/news/view/1353856

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